Genaro Codina erblickte am 10. September 1852 in Zacatecas das Licht der Welt. Dort und in seiner gleichnamigen Heimatprovinz verbrachte er mit wenigen Unterbrechungen auch sein gesamtes Leben. Genaros Eltern förderten durch den Besuch der privaten Musikschule von Luis Galindo die musikalische Begabung ihres Sohnes. Er beherrschte verschiedene Instrumente, wobei die Harfe sein Lieblingsinstrument war. Im Umkreis seiner Heimatstadt wurde er später allerdings als ein Fachmann für Feuerwerke bekannt und weniger als Künstler. Im Jahre 1887, als Genaro Codina bei der örtlichen Bank angestellt war, verfügte der mexikanische Präsident Porfirio Diaz, ihn als Buchhalter bei der Provinzregierung anzustellen. Diese Weisung geht auf einen Marsch zurück, welchen Codina dem Präsidenten gewidmet hatte.
Über den künstlerischen Werdegang und die Aktivitäten von Codina ist recht wenig bekannt. Man weiß, dass er etliche Märsche und Tänze komponierte und in späteren Jahren auch noch das „Orquestra Tipica Zacatecana“ leitete, mit der auch Konzertreisen nach Mexiko-Stadt und in die USA unternahm. Vermutlich war es sein Schwager Fernando Villapando, der Dirigent der örtlichen Stadtmusik, der im Laufe der Jahre auf Codina prägenden musikalischen Einfluss ausübte.
Codina verstarb im November 1901 in seiner Heimatstadt Zacatecas. Ehrungen als „großer Sohn der Stadt“ erfuhr er erst posthum.